МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений. Были созданы Луи де-Бройлем (открытие волн материи), В. Гейзенбергом (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э.Шрёдингером (уравнение Шрёдингера), Н. Бором (формулировка принципа дополнительности).
Наблюдаемые величины и векторы состояний
В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния. Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряженными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве(пространстве состояний).Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции). Физическая величина может принимать только собственные значения оператора. Вычисляется так, скалярное произведение векторов(в матричном представлении — диагональный матричный элемент). Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор. Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины состоянии задаются мерой, оператор, отвечающий наблюдаемой величине— вектор состояния, круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию
В этом случае любая имеющая смысл физическая величина не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).
Полный набор совместно наблюдаемых величин
Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности для всех взаимной независимости (ни один из операторов не может быть представлен в виде функции от остальных, полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми и неявляющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций со скалярным произведением. Операторы являются операторами умножения на соответствующие переменные.
Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы
В случае частицы в трёхмерном пространстве наблюдаемыми величинами являются координаты и импульсы.
В представлении Шредингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции со скалярным произведением:
Операторы координат представляют собой операторы умножения:
Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:
Соотношения коммутации
Операторы декартовых координат и операторы импульсов удовлетворяют соотношениям коммутации:
Уравнения Гамильтона
Матричные элементы операторов декартовых координат и операторов импульсов удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:
Уравнение Шрёдингера
Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шредингера
Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шредингера:
При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.
Уравнение Гейзенберга
Уравнение Гейзенберга — уравнение, описывающее эволюцию квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы. Это уравнение имеет вид:
где A — квантовая наблюдаемая, которая может явным образом зависеть от времени, H — оператор Гамильтона, а скобки обозначают коммутатор. В случае открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем используется уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой. Если в качестве наблюдаемых взять операторы координат и импульсов, то получим квантовые аналоги классических уравнений Гамильтона.
